Bài viết dưới đây chia sẻ cho bạn tất cả các hệ thức lượng trong tam giác vuông áp dụng các định lý Pytago, định lý Cosin, định lý Talet, công thức lượng giác… Mời bạn đón xem!

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Quy ước

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, H là hình chiếu của A lên BC, khi đó:

Cạnh góc vuông: AB, AC

Cạnh huyền: BC

Đường cao: AH

Hình chiếu:

• BH là hình chiếu của AB lên cạnh huyền BC.
• CH là hình chiếu của AC lên cạnh huyền BC.

Hệ thức

Hệ thức 1

Áp dụng định lý Pytago cho 3 tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

Hệ thức 1 trong tam giác vuông

Bạn có thể tìm hiểu thêm về định lý Pytago: TẠI ĐÂY!

Hệ thức 2

Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

• AH² = BH.CH (AH² – là AH bình phương)
• AB.AC = BC.AH
• AB² = BC.BH (AB² – là AB bình phương)
• AC² = BC.CH (AC² – là AC bình phương)
• 1/(AH²) = 1/(AB²) + 1/(AC²) (AH² – là AH bình phương, AB² – là AB bình phương, AC² – là AC bình phương)

Hệ thức 3

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông:

• SinB = AC / BC
• CosB = AB / BC
• TanB = AC / AB
• CotanB = AB / AC

(Tương tự với góc C)

Hệ thức 4

Tỉ số lượng giác của 2 góc phụ nhau ( góc B + C = 90 độ)

• SinB = CosC
• CosB = SinC
• TanB = CotanC
• CotanB = TanC

Hệ thức 5

Các công thức lượng giác mở rộng cho tam giác vuông:

• TanB = SinB / CosB
• CotanB = CosB / SinB
• SinB.SinB + CosB.CosB =1
• TanB.CotanB = 1

Bạn có thể xem tất cả các CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: Tổng hợp công thức lượng giác

Ví dụ giải bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 1

Cho tam ABC vuông tại A có AB = a. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC.

Ví dụ 1 – hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm, AB = 20cm.

• a. Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH.
• b. Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB, đường thẳng (d) cắt cạnh AC tại điểm N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN.

Ví dụ 2 – hệ thức lượng trong tam giác vuông

Ví dụ 3

Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài các đoạn thẳng DE, AE, CE, AF, BF.

Ví dụ 3 – hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các cách để chứng minh một tam giác là tam giác vuông

1. Chỉ ra tam giác có một góc vuông hay tam giác có tổng 2 góc bất kỳ bằng 90 độ.
2. Chỉ ra tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là: BC² = AB² + AC² thì tam giác vuông tại A.
3. Chỉ ra một trung tuyến AM = BC /2. Thì tam giác đó vuông tại A.

Bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông – tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, BC = 13 cm. AH là đường cao. Tính BH, CH, AC và AH.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, AB = 3 cm. AH là đường cao. Tính BC, BH, CH, AH.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm. Tính chiều dài hai cạnh góc vuông biết 3 AB = 2 AC.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết BH = 5 cm, CH=10 cm. Tính BC, AH, AB và AC.

Bài 5. Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 10 cm, đáy nhỏ CD = 6 cm và góc A là 60 độ

• a) Tính cạnh BC.
• b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính MN.

Bài 6. Cho đoạn thẳng AB=2a. Từ trung điểm O của AB vẽ tia Ox vuông góc với AB. Trên Ox, lấy điểm D sao cho OD = 2 a/2. Từ B kẻ BC vuông góc với đường thẳng AD.

• a) Tính AD, AC và BC theo a.
• b) Kéo dài DO một đoạn OE = a. Chứng minh bốn điểm A, B, C và E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 7. Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB và HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC= góc ANB=90 độ. Chứng minh: AM = AN

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 3 AB = 2 AC, và AH = 10 cm. Tính chu vi tam giác ABC.

Bài 9. Cho hình thang ABCD vuông góc tại A và D. Hai đường chéo vuông góc với nhau tại O. Biết AB = 8 cm, OA = 5 cm. Tính diện tích hình thang ABCD.

Tham khảo

Ngoài các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, bạn đọc có thể tham khảo nhiều kiến thức toán học khác. Mời bạn đọc cùng tìm hiểu!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Talet!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus

Chuyên mục tham khảo: Toán học

Website liên kết: KHS247

Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Youtobe Facebook Twitter