Định lý Pytago “Pythagoras”

Chia sẻ cùng cộng đồng!

Bài viết hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về định lý Pytago “Pythagoras”, các phát biểu định lý thuận – đảo, công thức, cách chứng minh, ví dụ minh họa thực tế của định lý!

Định lý Pytago

Định lý Pytago (Pythagorean theorem – theo Tiếng Anh) là liên hệ căn bản trong hình học Euclid (còn gọi là hình học Ơclit) giữa 3 cạnh của 1 tam giác vuông (tam giác có 1 góc bằng 90 độ). Định lý được phát biểu theo 2 chiều thuận và ngược như sau:

Định lý Pytago thuận

Phát biểu định lý

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) bằng tổng bình phương của 2 cạnh góc vuông.

Công thức

Định lý Pytago (Pitago)

Định lý Pytago (Pitago)

Trong đó:

  • Góc A – là góc vuông = 90 độ
  • c – là cạnh huyền
  • a, b – là cạnh góc vuông

Biểu thức trên có thể khai căn bình thường với a, b, c là 3 cạnh trong 1 tam giác có giá trị > 0

Chứng minh

Có rất nhiều cách chứng minh định lý này như:

  • Chứng minh sử dụng các tam giác đồng dạng
  • Chứng minh theo Euclid
  • Chứng minh bằng cách chia hình và ghép lại
  • Chứng minh của Einstein bằng phân tích lập luận
  • Các chứng minh bằng đại số
  • Chứng minh bằng vi tích phân…

Để bạn dễ hiểu và không bị loạn, ở bài viết này mình chỉ giới thiệu cách chứng minh định lý theo các tam giác đồng dạng.

Xét tam giác ABC vuông tại A (góc A = 90 độ), kẻ AH vuông góc với BC tại H:

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận

Ta có:

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận - Phương trình 1

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận – Phương trình 1

Chứng minh định lý Pytago thuận - Phương trình 2

Chứng minh định lý Pytago thuận – Phương trình 2

Từ (1) và (2) ta suy ra điều cần chứng minh:

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận - Phương trình 3

Chứng minh định lý Pytago (Pitago) thuận – Phương trình 3

Định lý Pytago đảo

Phát biểu định lý

Trong một tam giác, nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông.

Công thức

Xét 1 tam giác bất kỳ ABC có 3 cạnh tam giác là AB, BC, AC

Định lý Pytago (Pitago) đảo

Định lý Pytago (Pitago) đảo

Chứng minh

Có thể chứng minh định lý đảo Pytago bằng cách sử dụng định lý cos hoặc chứng minh như sau:

Gọi ABC là tam giác với các cạnh a, b, và c, với a2 + b2 = c2. Dựng một tam giác thứ hai có các cạnh bằng a và b và góc vuông tạo bởi giữa chúng. Theo định lý Pytago thuận, cạnh huyền của tam giác vuông thứ hai này sẽ bằng c = √a2 + b2, và bằng với cạnh còn lại của tam giác thứ nhất. Bởi vì cả hai tam giác có ba cạnh tương ứng cùng bằng chiều dài a, b và c, do vậy hai tam giác này phải bằng nhau. Do đó góc giữa các cạnh a và b ở tam giác đầu tiên phải là góc vuông.

Hệ quả

Một hệ quả của định lý Pytago đảo đó là cách xác định đơn giản một tam giác có là tam giác vuông hay không, hay nó là tam giác nhọn hoặc tam giác tù. Gọi c là cạnh dài nhất của tam giác và có a + b > c (nếu không sẽ không tồn tại tam giác vì đây chính là bất đẳng thức tam giác). Các phát biểu sau đây là đúng:

  • Nếu a2 + b2 = c2, thì tam giác là tam giác vuông.
  • Nếu a2 + b2 > c2, nó là tam giác nhọn.
  • Nếu a2 + b2 < c2, thì nó là tam giác tù.

Bộ ba số Pytago

Một bộ ba số Pytago là ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Nói cách khác, bộ ba số Pytago biểu diễn độ dài của các cạnh của một tam giác vuông mà cả ba độ dài này là những số nguyên dương. Các chứng cứ từ những điểm khảo cổ ở miền bắc châu Âu cho thấy người cổ đại đã biết đến những bộ ba này trước điểm có những văn tự ghi chép lại. Các bộ ba này thường được viết là (a, b, c). Một số bộ hay gặp là (3, 4, 5) và (5, 12, 13).

Một bộ ba số Pytago gọi là bộ ba số Pytago nguyên thủy khi các số a, b và c nguyên tố cùng nhau (hay ước số chung lớn nhất của a, b và c bằng 1).

Dưới đây liệt kê các bộ ba số Pytago nguyên thủy nhỏ hơn 100 (16 bộ số):

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Các bước áp dụng định lí Pytago thuận và Pytago đảo

Khi áp dụng định lí Pytago thuận để tính độ dài cạnh trong tam giác vuông, học sinh cần trình bày theo các bước:

  • Bước 1. Xét tam giác: muốn áp dụng cho tam giác vuông nào thì ta cần xét tam giác vuông ấy.
  • Bước 2. Áp dụng định lí Pytago và thay số vào biểu thức
  • Bước 3. Tính độ dài cạnh cần tìm và kết luận.

Còn đối với bài tập chứng minh một tam giác là tam giác vuông, học sinh cần thực hiện như sau:

  • Bước 1. Chọn cạnh có độ dài lớn nhất và tính bình phương
  • Bước 2. Tính tổng bình phương của hai cạnh còn lại
  • Bước 3. So sánh và dựa vào định lí Pytago đảo để kết luận

Bài toán thực tế về định lí pytago

Ví dụ 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3, AC = 4. Tính BC?

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

Ví dụ 1 định lý Pitago

Ví dụ 1 định lý Pitago

Nếu bạn tinh ý thì đây là bộ 3 số Pytago, ta suy luôn ra kết quả là 5

Ví dụ 2

Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 13, BC = 12. Chứng minh tam giác ABC vuông tại B?

  • Áp dụng định lý Pytago đảo ta dễ dàng chỉ ra được tích số 5×5 + 12×12 = 13×13, nên tam giác ABC là tam giác vuông.
  • Mặt khác AC=13 có chiều dài lớn nhất, nên AC là cạnh huyền, đối diện với cạnh huyền là góc vuông B nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B.

Ví dụ 3

Tính x, y trên hình?

Ví dụ thực tế 3

Ví dụ thực tế 3

Ví dụ 4

Cho kích thước các cạnh như hình vẽ, tính kích thước các cạnh còn lại?

Ví dụ thực tế 4

Ví dụ thực tế 4

Bài viết liên quan: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài viết tham khảo: Tổng hợp công thức lượng giác

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Talet!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Ceva!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus

Chuyên mục tham khảo: Toán học

Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

Youtobe Facebook Twitter

Leave a Reply

error: Content is protected !!