Định lý Ceva và ứng dụng

Chia sẻ cùng cộng đồng!

Định lý Ceva cũng như định lý Menelaus là 2 định lý quan trọng trong hình học, được phổ cập giáo dục ở phân lớp 8. Nắm vững kiến thức về định lý kết hợp với các định lý khác như Talet, định lý Cosin, Pytago… giúp bạn giải quyết được nhiều bài toán ứng dụng thực tế.

Bạn hãy cùng DINHLUAT.COM khám phá định lý này nhé!

Định lý Ceva

Phát biểu định lý

Định lý Ceva

Định lý Ceva

Cho tam giác ABC. Gọi A, B’,C’ là ba điểm tương ứng nằm trên BC, CA, AB. Ba đường thẳng AA, BB’, CC’ cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi:

Phát biểu định lý Ceva

Chứng minh định lý

Phần thuận

Giả sử ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại điểm O. Từ A và C, kẻ các đường song song với BB’, chúng lần lượt cắt CC’ và AA’ tại K, I tương ứng.

Chứng minh định lý Ceva

Chứng minh định lý Ceva

Áp dụng định lý Talet (Thales) – “nếu bạn chưa biết về định lý này có thể tham khảo tại đây: Định lý THALES!“, ta có:

Chứng minh định lý Ceva CT1

Vì Δ IA’C ~ Δ OA’B, Δ AKC’ ~ Δ BOC’ ta có:

Chứng minh định lý Ceva CT2

Từ (1)(2) ta suy ra được điều cần chứng minh:

Chứng minh định lý Ceva CT3

Phần đảo

Giả sử ta có:

Chứng minh định lý Ceva CT3

Qua giao điểm của các đường thẳng AA’ và BB’, kẻ đường thẳng CC1 với C1 nằm trên cạnh AB. Khi đó, theo chứng minh phần thuận ta có:

Chứng minh định lý Ceva CT4

Từ biểu thức trên ta suy ra được C1 ≡ C’ (điều cần chứng minh)

Định lý Ceva mở rộng

Chú ý: Định lý Ceva trong trường hợp tổng quát khi các điểm A’, B’, C’ không chỉ nằm trên các cạnh theo thứ tự BC, AC, AB của tam giác ΔABC mà nó có thể nằm tùy ý trên các đường thẳng chứa các cạnh.

Phát biểu định lý

Cho tam giác ABC và các điểm A’, B’, C’ khác A, B, C theo thứ tự thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó các đường thẳng AA’, BB’, CC’ hoặc đồng quy hoặc đôi một song song khi và chỉ khi:

Phát biểu định lý Ceva mở rộng

Phát biểu định lý Ceva mở rộng

Chứng minh

Chứng minh điều kiện cần. Có hai trường hợp cần xét:

Trường hợp 1: AA’, BB’, CC’ đồng quy (hình A). Giả sử AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, đường thẳng này theo thứ tự cắt BB’, CC’ tại X, Y.

Chứng minh định lý Ceva mở rộng

Theo hệ quả của định lý Thales dạng đại số:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT1

Trường hợp 2: AA’, BB’, CC’ đôi một song song (hình B).

Chứng minh định lý Ceva mở rộng - hình b

Theo hệ quả của định lý Thales dạng đại số:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT2

Chứng minh điều kiện đủ: Ta chứng minh nếu ba đường AA’, BB’, CC’ không đôi một song song thì chúng phải đồng quy. Giả sử AA’, BB’ không song song. Đặt O = AA’ ∩ BB’. Khi đó CO và AB không song song (hình C):

Chứng minh định lý Ceva mở rộng - hình c

Nếu CO song song với AB (CO // AB) thì theo hệ quả của định lý Thales dạng đại số, ta có:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT3

Mặt khác, theo giả thiết:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT4

Vậy CO không song song với AB. Đặt C1 = CO ∩ AB. Theo kết quả đạt được trong phép chứng minh điều kiện cần:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT5

Ta có:

Chứng minh định lý Ceva mở rộng CT6

⇒ AA’, BB’, CC’ đồng quy.

Định lý Ceva cho ngũ giác

Phát biểu định lý

Định lý Ceva ngũ giác

Định lý Ceva ngũ giác

Cho ngũ giác A1A2A3A4A5 và năm điểm B1, B2, B3, B4, B5 lần lượt nằm trên năm đường thẳng A5A2, A1A3, A2A4, A3A5, A4A1. Nếu các đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, A5B5 đồng quy thì:

Định lý Ceva cho ngũ giác

Định lý Ceva cho ngũ giác

Chứng minh

Giả sử năm đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, A5B5 đồng quy tại điểm I theo định lý về tỷ lệ diện tích ta có:

Chứng minh định lý Ceva ngũ giác CT1

Định lý Ceva cho đa giác

Cho đa giác n – cạnh A1A2…An và n điểm B1, B2, …, Bn, lần lượt nằm trên các đường thẳng AnA2, A1A3, A2A4, …Ai−1Ai+1, An−1A1. Nếu n đường thẳng A1B1, A2B2, …AnBn đồng quy thì:

Phát biểu định lý Ceva đa giác

Định lý Ceva dạng lượng giác

Trước khi đi vào trình bày định lý này, bạn có thể tham khảo các công thức lượng giác tổng hợp nhất tại: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC TỔNG HỢP!

Phát biểu định lý

Định lý Ceva trong lượng giác

Định lý Ceva trong lượng giác

Định lý Ceva dạng lượng giác hay dạng sin được phát biểu như sau:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E,F là ba điểm tương ứng nằm trên BC, CA, AB. Ba đường thẳng AD, BE, CF đồng quy khi và chỉ khi:

Phát biểu định lý Ceva trong lượng giác

Chứng minh

Giả sử AD, BE, CF đồng quy tại điểm O bất kỳ, áp dụng định lý Sin ta sẽ chứng minh được định lý trên!

Ứng dụng định lý Ceva

Bài 1

Cho ΔABC. Gọi D là trung điểm của BC, E và F lần lượt là hai điểm nằm trên AB, AC sao cho AD, BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng EF // BC?

Ứng dụng định lý Ceva - bài 1

Nhận xét: Trong bài tập trên nếu dùng các dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song thông thường dùng thì rất khó khăn trong chứng minh. Ở đây ta dùng định lí Ceva sẽ dẫn đến tỉ số có lợi là (EA/EB=FA/FC) và áp dụng định lí Ta-let để thu được kết quả hay và ngắn gọn.

Bài 2

Cho tam giác ABC, gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống đường phân giác của góc BCA, N và L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và C xuống đường phân giác của góc ABC. Gọi F là giao của MN và AC, E là giao của BF và CL, D là giao của BL và AC. Chứng minh rằng DE song song với MN?

Ứng dụng định lý Ceva - bài 2

Bài 3

Cho đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh AD, BE, CF đồng quy.

Ứng dụng định lý Ceva - bài 3

Bài 4

Cho tam giác ABC đường cao AH. Lấy D,E thứ tự trên AB, AC sao cho AH là phân giác góc DHE. Chứng minh: AH, BE, CD đồng quy.

Ứng dụng định lý Ceva - bài 4

Bài 5

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AK. Dựng bên ngoài tam giác những hình vuông ABEF và ACGH. Chứng minh: AK, BG, CE đồng quy.

Ứng dụng định lý Ceva - bài 5

Định lý tương tự: Tổng hợp kiến thức về định lý Menelaus

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Pytago!

Bài viết tham khảo:Tổng hợp kiến thức về định lý hàm Cosin!

Bài viết tham khảo: Tổng hợp kiến thức về định lý Vi-et!

Chuyên mục tham khảo: Toán học

Website liên kết: KHS247

Nếu các bạn có bất cứ thắc mắc hay cần tư vấn về thiết bị dịch vụ vui lòng comment phía dưới hoặc Liên hệ chúng tôi!

Chúng tôi luôn sẵn sàng đem lại những giá trị tốt đẹp cho cộng đồng!

YoutobeFacebookTwitter

Nguồn: Luận văn thạc sĩ toán học – Tác giả: Ninh Mạnh Cường – Đại học Thái Nguyên.

One Response to “Định lý Ceva và ứng dụng”
  1. Ya23/09/2020

Leave a Reply

error: Content is protected !!